Definiç˜ao:
Note que uma sequência pode começar em pontos diferentes de 1. xn = L se para todo ε > 0 existe N0 ∈ N tal que n>N0 =⇒ |xn − L| < ε. Neste caso, a sequência é denominado de sequencia convergente e L é dito limite da sequência.
Uma sequência pode ser pensada como uma lista ordenada de números reais a1,a2,a3,a4,...,an,... em que a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo e, de um modo geral, an é o n-ésimo termo. Formalmente, uma sequência é definida como uma função real cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos (ou não-negativos).
Uma sequência {an} é limitada se: (i) for limitada superiormente, ou seja, existe M ∈ R tal que an ≤ M, para todo n ≥ 1; (ii) for limitada inferiormente, ou seja, existe N ∈ R tal que an ≥ N, para todo n ≥ 1. Teorema da Convergência Monótona: Toda sequência monótona e limitada é convergente.
Se ela for maior que 1, temos uma sequência crescente. Se for menor que 1, temos uma sequencia decrescente.
Em matemática, uma série é o somatório dos termos de uma sequência de números. é a soma dos primeiros termos da sequência, isto é, Qualquer série que não é convergente é chamada de divergente.
Dizemos que a sequência converge, ou é convergente, se limnÑ8 an existir. Caso contrário, dizemos que a sequência diverge, ou é divergente.
De fato, se para cada ε0 > 0 dado existir n0 tal que |L−an| < ε0, para todo n ≥ n0, e se ε>ε0 então |L − an| < ε0 < ε, para todo n ≥ n0. O número L é chamado limite da sequência.
Todo limite de uma sequência é um valor único, ou seja, se. tende a um número real. e, também, a um número real. ... Toda sequência monótona e limitada converge (disso, segue que se uma subsequência da sequência monótona.
Em matemática, uma sucessão de Cauchy ou sequência de Cauchy é uma sucessão tal que a distância entre os termos vai se aproximando de zero. Deve o seu nome ao matemático francês Augustin Louis Cauchy. Intuitivamente é uma sequência onde seus termos vão ficando cada vez mais próximos.
Uma outra forma muito comum de dar exemplos de sequências é listando os primeiros elementos (como um conjunto), seguido de "...", de forma que a regra de formação seja óbvia. Vamos observar que em todo livro estaremos considerando que o conjunto dos naturais . ( n ) n ∈ N . {\\displaystyle (n)_ {n\\in \\mathbb {N} }.}
Uma sequência que não é convergente é dita divergente. A divergência geralmente ocorre por dois motivos: A sequência não é limitada ou possui duas subsequências convergindo para valores diferentes. Uma pergunta muito natural de se fazer: a definição de convergência é precisa?
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