Exemplo 2: Qualquer reta que não passe pela origem NÃO é subespaço de R 2 R^2 . De fato, se a reta não passa pela origem, ela não contem o elemento neutro do R 2 R^2 . Logo não pode ser subespaço vetorial.
Se W é um subespaço vetorial de V, então dim(W) ≤ dim(V). Para mostrar que dois espaços vetoriais de dimensão finita são iguais, muitas vezes, se utiliza o seguinte critério: se V é um espaço vetorial de dimensão finita e W é um subespaço vetorial de V com dim(W) = dim(V), então W = V.
Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaço: o conjunto {0}, chamado subespaço zero ou subespaço nulo, e o próprio espaço vetorial V, que são chamados de subespaços triviais de V. Os demais são chamados de subespaços próprios de V. ... Os subespaços próprios do ℝ3 são retas e planos que passam pela origem.
Para saber se um conjunto é um espaço vetorial, verifica-se se as duas operações são válidas e depois se as oito propriedades dos vetores também são válidas. Observação: O conjunto de todas as matrizes de ordem 2 é um espaço vetorial. Deste modo, os vetores desse espaço são matrizes 2x2.
Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V. Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não-vazio, será um subespaço vetorial de V se forem válidas as mesmas duas operações de antes: Produto por escalar: se α é escalar e ∈ V, então a ∈ V.
Exemplos - Subespaço Gerado Exemplos - Subespaço Gerado Exemplo 1: OconjuntoS= f(1;2)g2R2geraosubespaçoU= (x;y) 2R2jy= 2x
Exemplo: Em R3, os únicos subespaços são a origem, as retas e os planos que passam pela origem e o próprio R3. Exemplo: Seja V = M (3,3), ou seja, o conjunto das matrizes de ordem 3, e W o subconjunto das matrizes triangulares superiores.
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