Matrizes que não são diagonalizáveis Esta matriz não é diagonalizável: não há matriz U tal que U−1CU seja uma matriz diagonal. De fato, C tem um autovalor (a saber, o zero) e este autovalor tem multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 1.
operador linear sobre V . Então, T é diagonalizável se, e somente se: (i) o polinômio característico de T possui todas as suas raízes em K; (ii) a multiplicidade algébrica de cada autovalor de T é igual a sua multiplicidade geométrica.
Dizemos que T é um operador diagonalizável se existe uma base de E cujos elementos s˜ao autovetores de T. Diagonalizaç˜ao de um Operador Seja T : E -→ E um operador linear. Diagonalizar o operador T é encontrar - quando poss´ıvel - uma matriz associada `a T com relaç˜ao a uma base de E formada por autovetores de T..
Teorema: Sejam λ1, λ2, ..., λr os autovalores distintos de um operador linear T. Então T será diagonalizável se, e somente se o polinômio: (x - λ1)(x – λ2).... (x - λr)
Qualquer que seja a, o resultado vai ser o mesmo. Então, não existem valores de a que a tornem diagonalizável.
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Sejam A e B matrizes semelhantes, então:;é invertível se e somente se também o for;e possuem o mesmo polinômio característico;e tem os mesmos valores próprios com a mesma multiplicidade;e têm o mesmo traço;e são semelhantes para todo .As matrizes de um operador linear de dimensão finita são semelhantes.
A transposta de uma matriz A é uma matriz que apresenta os mesmos elementos de A, só que colocados em uma posição diferente. Ela é obtida transportando-se ordenadamente os elementos das linhas de A para as colunas da transposta. Portanto, dada uma matriz A = (aij)m x n a transposta de A é At = (a ji) n x m.
O polinômio mínimo ou polinômio minimal de α é o polinômio mônico de menor grau que satisfaz p(α) = 0.Em álgebra linear, temos o polinômio mínimo de um operador linear ou de uma matriz quadrada.Na teoria dos corpos, temos o polinômio mínimo de um elemento α algébrico sobre um corpo K.
Exemplo 1: Considere o operador linear T : R2 -→ R2, dado por T(x, y)=(x,2x + y). Assim, os autovetores associados a λ = 1 são da forma v = (0,y) = y(0,1). Uma base para o subespaço Sλ é 1(0,1)l, portanto dim(Sλ)=1, logo a multiplicidade geométrica de λ = 1 é igual a 1.
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