3.5.1 Transformações lineares injetoras No caso particular em que b → = 0 → , o sistema homogêneo A x → = 0 → sempre possui a solução trivial x → = 0 → . Neste caso, para que a transformação linear seja injetora devemos verificar que esta é a única solução de A x → = 0 → .
Se T é inversível, T transforma base em base, isto é, se B é uma base de V, T(B) também é uma base de V. )-1. = I. Assim T é inversível se, e somente se, det T ≠ 0.
Dizemos que a função T é uma transformação linear se possuir as seguintes propriedades: I – T(x+y) = T(x) + T(y), onde x e y pertencem a V; II – T(k.x) = k.T(x), onde x pertence a V e k pertence a R.
Dizemos que uma é sobrejetiva se a imagem é completamente igual ao contradomínio.
Dizemos que a transformação linear T é Injetora se a aplicação T for injetora. De mesmo modo, a transformação linear T é Sobrejetora se a aplicação T for sobrejetora. ... Corolário: Sejam U e V espaços vetoriais de mesma dimensão e seja T : U ⟶ V T: U \longrightarrow V uma transformação linear.
Exemplo 4: A transformação linear T : R3 −→ R4 dada por T(x, y, z)=(x, x − y, y − z, z) NÃO é um isomorfismo. Assim, N(T) = {(0,0,0)} e portando T é injetora. ... O que implica que Im(T) = R4 e portanto, T NÃO é sobrejetora, logo T não é bijetora e não é um isomorfismo.
Definição 5.9 (Operador inverso) Um operador linear T diz-se invertível se exis- tem simultaneamente os operadores inverso esquerdo e inverso direito. Neste caso diz-se que T tem inverso T−1, isto é, TT−1 = T−1T = I.
Se os conjuntos V e W são iguais, WV = , então T é denominada um Operador Linear.
Uma transformação é dita linear quando obedece aos seguintes critérios: T ( u + v ) = T ( u ) + T ( v )
3.5.2 Transformações lineares sobrejetoras A transformação linear T:ℝn→ℝmé sobrejetora quando, para todo b→∈ℝn, a equação T(x→)=b→ (3.39) possui alguma solução (comparar com a definição no início desta seção). Seja Aa matriz de ordem m×nassociada a T.
3.5 Transformações injetoras, sobrejetoras e invertíveis Como de costume, dada uma função f:A→B, diz-se que Aé o domínio de fenquanto Bé o contradomínio. A imagem de fé o subconjunto de Bque consiste de todos os elementos y∈Btais que f(x)=you, intuitivamente, que consiste de “todos os elementos de Bque são atingidos pela função f”.
3.5.1 Transformações lineares injetoras A transformação linear T:ℝn→ℝmé injetora quando, para b→∈ℝm, a equação T(x→)=b→ (3.36) possuir uma única solução ou nenhuma (no máximo uma – comparar com a definição acima). Como vimos, existe uma matriz Ade ordem m×nassociada à transformação linear T, de modo que temos que analisar as soluções de
TRANSFORMAÇÃO LINEAR BIJETORA. Dizemos que uma transformação linear T:V→W é bijetora se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Nesses casos a transformação é chamada de isomorfismo e V e W são chamados de espaços vetoriais isomorfos. OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES . ADIÇÃO. Sejam duas transformações lineares T:V→W e S:V→W.
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