Um conjunto é dito linearmente independente se não for possível a existência de um vetor que compõe esta conjunto ser escrito como combinação linear dos demais. É importante reconhecer esta característica em um conjunto, a fim de poder definir bases de espaços e subespaços vetoriais.
Um conjunto de vetores se diz Linearmente Dependente (LD) se houver um vetor neste conjunto que pode ser escrito como combinação linear dos demais. Caso contrário, o conjunto é chamado Linearmente Independente (LI).
Definição formal se tem. é linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um dos vetores do conjunto é combinação linear dos demais.
Se todas as colunas da matriz possuirem posição de pivô, então as colunas são LI (pois daí a única solução do sistema homogêneo é a trivial). No caso de alguma coluna não possuir posição de pivô, o sistema homogêneo possui pelo menos uma variável livre; logo, as colunas de são LD.
Exemplo 5: 1(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)l é uma base para o espaço vetorial R3. Obtemos um sistema linear homogêneo, cuja única solução é α1 = α2 = α3 = 0. Logo, 1(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)l é L.I. Obtemos um sistema linear que tem solução única.
Naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. ... Em outras palavras, o conjunto { } é LD se, e somente se um destes vetores for combinação linear dos outros.
Façamos agora algumas observações gerais sobre independência linear: O vetor nulo, mesmo que sozinho, é LD. Se v → = 0 → estiver em um conjunto de vetores, este conjunto será automaticamente LD. Ao considerarmos apenas dois vetores u → e v → , dizer que estes vetores são LD significa que eles são múltiplos um do outro e, portanto, colineares.
Ou seja no Exemplo 12, temos que a matriz tem as colunas linearmente independentes (LI). Por outro lado, as colunas da matriz do Exemplo 13 são linearmente dependentes (LD).
Generalizando esse raciocínio para uma quantidade arbitrária de vetores podemos concluir que qualquer conjunto de vectores que contenha o vector nulo é um conjunto linearmente dependente. Conjuntos de vectores que contenham dois ou mais vectores múltiplos escalares entre si são conjuntos linearmente dependentes.
Dependência e Independência Linear . Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (freqüentemente indicado por LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros (lembrar o conceito de combinação linear apresentado anteriormente).
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