Exemplo
O Princípio da Indução Matemática é uma implicação, cuja tese é: “Uma sentença da forma P(n) é verdadeira para todos os inteiros n positivos”. Portanto, quando desejarmos demonstrar que alguma propriedade é válida para qualquer inteiro positivo n,podemos tentar usar a indução matemática como técnica de demonstração.
Suponhamos que para cada inteiro n >= a está dada uma afirmação A(n) de forma tal que: A (a) é verdadeira. Se A(m) é verdadeira para todo inteiro m tal que a =< m =< k então A(k+1) é verdadeira.
A prova de uma afirmação por indução matemática é feita em dois passos: 1. Passo base: é provado que P(n0) é V para um dado n0 específico. 2. Passo indutivo: é provado que para todos inteiros k ≥ n0, se P(k) é V então P(k + 1) é V.
As proposições (ou passos) do PIF são as seguintes:
O método da indução finita é um procedimento matemático para provar propriedades que são ver- dadeiras para uma seqüência de objetos. É um método bastante utilizado em teoria dos números, geometria, análise combinatória, etc.. Mas trata-se de um tipo de demonstração que pode aparecer em qualquer domínio da Matemática.
O problema da indução é a questão filosófica sobre se o raciocínio indutivo (uma generalização ou uma previsão não dedutiva) leva ao conhecimento. Uma generalização é qualquer argumento não dedutivo cuja conclusão é mais geral do que as premissas.
As condições que devem ser satisfeitas para tais generalizações serem consideradas legitimas pelo indutivista podem ser assim enumeradas: O número de proposições de observações que forma a base de uma generalização deve ser grande; As observações devem ser repetidas sob uma ampla variedade de condições; Nenhuma ...
O método da indução finita é um procedimento matemático para provar propriedades que são ver- dadeiras para uma seqüência de objetos. É um método bastante utilizado em teoria dos números, geometria, análise combinatória, etc.. Mas trata-se de um tipo de demonstração que pode aparecer em qualquer domínio da Matemática.
Prova por contradição (ou redução ao absurdo, do latim reductio ad absurdum) é um método de prova matemática indireta, não-construtiva. Este tipo de prova é feito assumindo-se como verdade o contrário do que queremos provar e então chegando-se a uma contradição.
O método de indução consiste no seguinte: para provar que cadaP(n) é uma afirmação ver- dadeira, prova-se que P(1) é uma afirmação verdadeira; sempre queP(n)for uma afirmação verdadeira (comn2N),P(n+1)tam- bém é verdadeira. Vejamos como fazer isto no caso do exemplo1.
P(k) é chamada SUPOSIÇÃO INDUTIVA ou HIPÓTESE INDUTIVA quando assumimos que P(k) é verdadeira com o objetivo de demonstrar o passo indutivo A indução, apesar do nome, é uma técnica de demonstração dedutiva, isto é, uma forma de demonstrar uma conjectura que possivelmente foi formulada por um raciocínio indutivo.
Indução matemática é um método de prova matemática usado para demonstrar a verdade de um número infinito de proposições. A forma mais simples e mais comum de indução matemática prova que um enunciado vale para todos os números naturais n e consiste de dois passos:
Sequências e Indução Matemática UFMG/ICEx/DCC DCC111 \\u0015 Matemática Discreta Ciências Easxat & Engenharias 1oSemestre de 2018 1.O conjunto dos números racionais Q é enumerável, ou seja, é possível atribuir (associar) a cada número racional um número natural.
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