Usamos também o teste da raz˜ao para encontrar o raio de convergência da derivada da série original: un = xn−1.n. un+1 = xn.(n + 1) L = lim.
Dentro de seu intervalo de convergência, a integral de uma série de potências é a soma das integrais dos termos individuais: ∫Σf(x)dx=Σ∫f(x)dx. Veja como isso é usado para encontrar a integral de uma série de potências.
EXEMPLO 3: Para quais valores de x a série converge? ... TEOREMA 2: Para uma série de potências existem apenas 3 possibilidades: 1) A série converge apenas quando x = a e seu raio de convergência é 0, R =0. 2) A série converge para todo x . (O intervalo de convergência é (-∞,+∞), seu raio de convergência é ∞, R = ∞).
As somas parciais de uma série também formam uma seqüência que pode convergir ou divergir. essa seqüência é da forma {3/2, 7/4,15/8,31/16,63/32,· · ·}. O limite dessa seqüência para n → ∞ é a soma da série. Se essa soma for um número finito, a série converge, se a soma for ±∞ ela é divergente.
Uma sequência é convergente quando o limite existe e vale um número. E ela é divergente quando o limite não existe e estoura para o infinito.
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Dentro de seu intervalo de convergência, a derivada de uma série de potências é a soma das derivadas dos termos individuais: [Σf(x)] =Σf (x).
Suponha que uma função f ( x ) f(x) f(x) possua todas as suas derivadas num determinado ponto x = x 0 x = x_0 x=x0. Então, o teorema de Tayor afirma que é possível escrever a função f ( x ) f(x) f(x) como série de potência infinita que possui a forma: f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) 1 !
Esse eu vou chama de raio de convergência da série de potência os extremos desse intervalo, ou seja, os pontos em que x igual x zero mais ou menos nunca estão bem definidos no sentido de que a forma que ele adquire depende de cada série, por exemplo, mas extremidades desse intervalo x zero mais a menos e a série pode ...
Então, como usar esse teste? Vamos usar esse teorema da seguinte forma: calculamos o limite e se ele der diferente de zero podemos afirmar que a série diverge. Caso o limite dê zero, nada podemos afirmar (a série pode ou não convergir).
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