Diferença de cubos A diferença entre dois cubos, a3 - b3, é igual ao produto do fator (a - b) pelo fator (a2 + ab + b2).
A diferença entre dois cubos nada mais é que a subtração entre dois monômios que podem ser reescritos como um termo elevado a cubo. Exemplos: x³ – y³
O cubo da diferença de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.
Diferença de dois quadrados é o 5º caso de fatoração. Para compreendermos melhor como e quando utilizarmos é necessário que saibamos que diferença na matemática é o mesmo que subtração e que quadrado é elevar um número, letra ou termos ao quadrado.
Se expandirmos (a+b)(a-b), obteremos a²-b². A fatoração vai pelo lado contrário: suponha que tenhamos uma expressão que seja a diferença de dois quadrados, como x²-25 ou 49x²-y², então poderemos fatorá-la usando as raízes desses quadrados.
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Soma de dois quadrados: ?2 + ?2 = (? + ?)2 − 2??
Por exemplo, quando dizemos que o resultado de 7 – 3 = 4, queremos dizer que a diferença entre 7 e 3 é 4 e também que 3 + 4 = 7. Para contas mais simples, é possível calcular a subtração de forma direta: 9 – 7 = 2, pois 2 + 7 = 9.
Somente os números considerados quadrados perfeitos possuem raiz quadrada exata, como por exemplo, o número 64 possui raiz quadrada igual a 8, pois 8² = 64. Então, dizemos que ele é um número quadrado perfeito. Observe outros algarismos considerados quadrados perfeitos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,...
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.
Exemplo 3: Dada a expressão algébrica 36x2 – 81y2, a raiz dos termos 36x2 e 81y2 é respectivamente 6x e 9y. Então, a forma fatorada é (6x – 9y) (6x + 9y).
Regra prática
“O cubo do primeiro termo menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo menos o cubo do segundo termo.”
Cubo da soma: cubo do primeiro termo, mais três vezes o primeiro termo elevado ao quadrado vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o segundo termo elevado ao quadrado, mais o segundo termo elevado ao cubo.
O cubo da diferença é uma técnica que auxilia na resolução dos produtos notáveis. O cubo da diferença se assemelha ao desenvolvimento do cubo da soma, devemos ter cuidado na questão dos sinais do polinômio formado pelo desenvolvimento da expressão.
São dois cubinhos. Então, o volume dessa minha primeira figura aqui, o volume, vai ser o meu comprimento vezes a altura vezes a minha profundidade; e isso daqui vai dar: 4 vezes 2 dá 8, vezes 4 dá 32.
Dois ao cubo é 2x2x2 que é igual a 8.
O quadrado de um número inteiro é calculado através da potenciação da base inteira em relação ao expoente de número dois. Dessa forma estamos multiplicando o número inteiro por ele mesmo. Os quadrados dos números seguem uma sequência lógica 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc.
O quadrado da soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro somado duas vezes o primeiro pelo segundo, somado o quadrado do segundo.
Diante disso, temos que 2² seria igual a 2²= 2x2= 4, ou seja, 2 elevado ao quadrado é igual a 4. Primeiramente, temos que qualquer número que seja elevado ao quadrado é mesmo que se multiplicasse esse número com ele mesmo, por exemplo: 5²= 5x5= 25.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 … Não pare agora...
Um número é um exemplo de quadrado perfeito, basta que esse número seja o resultado de outro número elevado ao quadrado, por exemplo: 36 é um quadrado perfeito, pois 62 = 36. Agora, para aplicar isso em uma expressão algébrica, observe o quadrado (todos os lados iguais) abaixo com lados x + y.
Assim, podemos definir a variação percentual como sendo:Variação Percentual = (VF/VI - 1) × 100. ... Variação Percentual = (12/10 - 1) × 100 = 0,2 × 100 = 20%
4. Cubo da diferença. O cubo da diferença entre duas parcelas, (a - b)3, é igual ao cubo da primeira parcela, a3, menos três vezes o quadrado da primeira pela segunda, 3 .
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