O produto escalar é a multiplicação entre dois vetores que tem como resultado uma grandeza escalar. Ele associa a dois vetores um número real.
O produto escalar entre os vetores v e w pode ser escrito na forma: v⋅w=|v||w|cos(t). onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w. Este ângulo pode ser maior ou igual a zero, mas deve ser menor do que 180 graus (π radianos). Com esta última definição, podemos obter o ângulo t, através do cosseno deste argumento t.
Portanto, para calcular produto interno, é necessário saber antes calcular a norma. *α é o ângulo entre os vetores w e v. Portanto, cosα é dado pelo produto interno entre os vetores w e v dividido pelo produto entre as normas dos vetores w e v. Esse cálculo é utilizado para encontrar o ângulo entre dois vetores.
O triplo produto escalar é definido por um produto vetorial e um produto escalar, isto é: Em coordenadas cartesianas, podemos escrever o triplo produto vetorial como: u 1 i → + u 2 j → + u 3 k → ⋅ v 1 i → + v 2 j → + v 3 k → × w 1 i → + w 2 j → + w 3 k → .
O módulo do produto vetorial ¯u × ¯v é a área de um paralelogramo de lados ¯u e ¯v, (lembre o significado geométrico de um determinante dois por dois como área de um paralelogramo). O módulo do produto vetorial verifica a fórmula: ||¯u × ¯v|| = ||¯u|| ||¯v||sen α, onde α é o ângulo entre os vetores ¯u e ¯v.
Em álgebra linear, o produto escalar é uma função binária definida entre dois vetores que fornece um número real (também chamado "escalar") como resultado. É o produto interno padrão do espaço euclidiano.
Uma das aplicações mais comuns do produto escalar está no cálculo do ângulo formado entre dois vetores. Para isso, isola-se o cosseno do ângulo, de modo que: Essa fórmula mostra-se útil graças a uma segunda forma de se encontrar o produto escalar entre dois vetores, agora algebricamente.
O resultado do produto escalar é um número (seria o produto do comprimento dos vetores), já o resultado do produto vetorial é um novo vetor.
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