Os métodos iterativos caracterizam-se por realizar sucessivas aproximações que convergem para a solução exata em seu limite, ou seja, eles não terminam em um determinado número de passos. Por sua vez, no método direto a solução é encontrada por meio de um número determinado de operações.
Em matemática computacional, um método iterativo é um procedimento que gera uma sequência de soluções aproximadas que vão melhorando conforme iterações são executadas, e resolvem uma classe de problemas estabelecida.
Métodos iterativos: podem ser mais rápidos e necessitar de menos memória do computador. Fornecem seqüências que convergem para a solução sob certas condições.
Os métodos iterativos costumam ser mais econômicos, pois requerem um gasto computacional menor. Além disso, são capazes de se autocorrigirem, isto é, sua convergência independe da aproximação inicial.
O método de Gauss-Seidel é mais vantajoso do que o de Jacobi, já que o método de Gauss-Seidel consegue uma solução de sistemas cuja convergência não é garantida para o método de Jacobi, sendo esse conhecido como Critério de Sassenfeld, onde uma vez satisfeito o Critério de linhas, logo será satisfeito o Sassenfeld.
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Bom, voltando ao assunto, como o método é iterativo, ele consiste em melhorar uma aproximação inicial por meio de repetidas iterações até chegarmos a uma precisão mínima desejada.
O Método de Jacobi é um procedimento iterativo para a resoluç˜ao de sistemas lineares. Tem a vantagem de ser mais simples de se implementar no computador do que o Método de Escalonamento, e está menos sujeito ao acúmulo de erros de arredondamento.
Decomposição LU (Lower Upper)
A decomposição pode ser dividida em dois passos: 1 – Passo de decomposição: a matriz A é fatorada em duas matrizes triangulares, uma inferior L com elementos da diagonal principal iguais a 1, e uma superior U, onde, realizando a multiplicação L × U L imes U L×U, obtemos a matriz A.
1º passo: calcular o determinante da matriz de coeficientes. 2º passo: calcular Dx substituindo os coeficientes da primeira coluna pelos termos independentes. 3º passo: calcular Dy substituindo os coeficientes da segunda coluna pelos termos independentes. 4º passo: calcular o valor das incógnitas pela regra de Cramer.
1º passo: seja I a primeira equação e II a segunda, vamos isolar uma das incógnitas em I e II. Escolhendo isolar a incógnita x, temos que: 2º passo: igualar as duas novas equações, já que x = x. 3º passo: substituir o valor de y por -2 em uma das equações.
4.7 Métodos iterativos para sistemas lineares4.7.1 Método de Jacobi.4.7.2 Método de Gauss-Seidel.4.7.3 Análise de convergência.
Um método é iterativo quando fornece uma sequência de aproximações da solução. Cada uma das aproximações é obtida das anteriores pela repetição do mesmo processo. Precisamos sempre saber se a sequência obtida está convergindo ou não para a solução desejada.
Iteração é o recálculo repetido de uma planilha até que uma condição numérica específica seja satisfeita. O Excel não pode calcular automaticamente uma fórmula que faz referência à célula — tanto direta quanto indiretamente — que contém a fórmula.
Realizar tarefas repetitivas sem cometer erros é algo que os computadores fazem bem e as pessoas nem tanto. É por isso que os computadores são utilizados muitas vezes para automatizar esses tipos de tarefas. A execução repetida de uma sequência de instruções é chamada de iteração (iteration).
A regra de Cramer, que por vezes tem sido mais discutida e praticada do que o método de escalonamento, constitui procedimento bastante inadequado para a resolução de sistemas com muitas equações e incógnitas. Façamos algumas contas para tornar essa idéia mais transparente.
Em álgebra linear, a decomposição LU (em que LU vem do inglês lower e upper) é uma forma de fatoração de uma matriz não singular como o produto de uma matriz triangular inferior (lower) e uma matriz triangular superior (upper). Às vezes se deve pré-multiplicar a matriz a ser decomposta por uma matriz de permutação.
A decomposição LU também encontra aplicações na resolução de determinantes, pois o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto do determinante das matrizes, e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
Critério: A série será convergente se, para alguma norma de matrizes, ||B|| < 1. é satisfeita para qualquer x, ent˜ao dizemos que as duas normas s˜ao consistentes. teremos que: ||B||∞ < 1 e, portanto, estará satisfeita uma condiç˜ao suficiente de convergência. Este é o critério de Sassenfeld.
8. Qual a alternativa CORRETA que define o critério de parada do Método Iterativo de Jacobi? É definido pela diagonal dominante.
5x1 + 2x2 + 2x3 = 3 6x2 + 8x3 = −6. a) É possıvel dizer se o Método de Jacobi é convergente para esse sistema, usando o critério das linhas? b) Mostre que a aplicaç˜ao do Método de Jacobi sobre o sistema equivalente obtido pela permutaç˜ao das duas primeiras equaç˜oes, gera uma sequência convergente.
Verificando o critério das linhas: Logo, . Então o critério das linhas não é satisfeito e a convergência do método de Gauss-Jacobi não é garantida.
A funcionalidade Cálculo interativo permite atribuir o número máximo de execuções de uma fórmula com referências circulares.
6. Diferente (<>) Símbolo responsável para retornar a confirmação se o valor ou referência é diferente de outra, como por exemplo: =A2<>B2 o resultado trará VERDADEIRO ou FALSO, quando o valor de A2 for diferente de B2.
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