Exemplo 1: O conjunto dos números reais, R, com as operações de adição e multiplicação entre números reais usuais é um espaço vetorial real. ... Exemplo 3: O conjunto das matrizes reais m × n, denotado Mm×n(R), com a operação de adição entre matrizes e multiplicação por escalar usuais é um espaço vetorial real.
Figura 1: O vetor (1,2) gera a reta y = 2x. Exemplo 2: O conjunto S = 1(1,0),(1,1)l gera o espaço vetorial R2. Assim, todo elemento v = (a, b) ∈ R2 pode ser escrito como (a - b)(1,0) + b(1,1). Logo, o conjunto S é um conjunto de geradores para o R2.
O R2 representa a classe dos pares de números (x,y), com x, y R. Na seqüência de estudo escolar, este conjunto é visto pela primeira vez, devido a sua interpretação geométrica, na análise de gráficos de funções. Nesse instante, o R2 aparece simplesmente como um conjunto.
Um espaço vetorial (sobre o conjunto de escalares) é um conjunto equipado com as operações de soma de vetores e de multiplicação por escalar e que satisfazem as propriedades usuais dos espaços .
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto LI gerador deste espaço. É também a maneira mais simples de “resumir” o espaço.
Considerando dois vetores quaisquer de um espaço vetorial V, a soma deles deve ser um terceiro vetor que ainda faz parte de V. Se multiplicarmos um vetor de V por um escalar, o resultante também deve ser elemento de V. Se uma dessas duas operações não for válida para um conjunto W, então é porque o conjunto não é um espaço vetorial.
O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira ordenada nula (plano z=0) é um subespaço de R³. O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira ordenada igual a 1 (plano z=1) não é um subespaço de R³.
1 2 n x x = : x u ªº «» «» «» «» ¬¼ 9.1 ESPAÇO VETORIAL Seja um conjunto V, não-vazio, sobre o qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar, isto é:
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