Então, temos dois jeitos fáceis de verificar isso. Podemos por os vetores em coluna, sendo os geradores nas primeiras colunas e o vetor v na ultima coluna. Se depois de escalarmos, a coluna do vetor v não tiver pivô, isso significa que ele é combinação linear dos outros e, então, pertence ao subespaço.
Todo subespaço vetorial tem como elemento o vetor nulo, pois ele é necessário à condição de multiplicação por escalar: quando . Para conferirmos se um subconjunto W é subespaço, basta verificar que v + αu ∈ W, para quaisquer ∈ V e qualquer α ∈ R, em vez de checar as duas operações separadamente.
Para gerar R2 necessitamos dois vetores n˜ao paralelos. Por exemplo (1, 0) e (0, 1). Ou (1, 1) e (1, 2). Por exemplo, (1, 1), (2, 2) e (3, 3) n˜ao geram R2, somente geram a reta (t, t), t ∈ R.
Um conjunto é dito linearmente independente se não for possível a existência de um vetor que compõe esta conjunto ser escrito como combinação linear dos demais. É importante reconhecer esta característica em um conjunto, a fim de poder definir bases de espaços e subespaços vetoriais.
Geometricamente, o elemento de S é o vetor u = (1,2) e o subespaço U é a reta y = 2x, e de fato, essa reta é gerada pelo vetor u = (1,2). Figura 1: O vetor (1,2) gera a reta y = 2x. Exemplo 2: O conjunto S = 1(1,0),(1,1)l gera o espaço vetorial R2.
Todo subespaço vetorial tem como elemento o vetor nulo, pois ele é necessário à condição de multiplicação por escalar: quando . Para conferirmos se um subconjunto W é subespaço, basta verificar que v + αu ∈ W, para quaisquer ∈ V e qualquer α ∈ R, em vez de checar as duas operações separadamente.
De mesmo modo, um elemento de W é da forma (0,y) = y(0,1), para y ∈ R. Assim, o conjunto W é gerado pelo elemento (0,1), isto é W = [(0,1)]. Logo, temos que a intersecção entre U e W é o elemento neutro de R2, ou seja, U ∩W = {(0,0)} Além disso, U + W = [(1,0),(0,1)].
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