O vetor u × v é ortogonal aos vetores u e v. Demonstraç˜ao. Para mostrar que u× v é ortogonal a u, basta mostrar que o produto escalar entre estes vetores é igual a 0.
➢ Dizemos que dois vetores são paralelos (ou colineares) quando seus representantes tiverem a mesma direção, ou seja, se tiverem representantes sobre uma mesma reta ou sobre retas paralelas. ➢ O vetor nulo �� é paralelo a todo vetor e também todo vetor é paralelo a si mesmo.
Quando normalizamos um vetor, na verdade calculamos V/|V| = (x/|V|, y/|V|, z/|V|) . Portanto, podemos chamar vetores normalizados como vetores unitários (ou seja, vetores com comprimento unitário). Qualquer vetor, quando normalizado, muda apenas sua magnitude, não sua direção.
Para determinarmos se são ortogonais basta vermos se o produto de cada vetor com os outros vetores do conjunto vale . Como temos vetores no conjunto, repare que teremos que testar combinações. O primeiro com o segundo, o primeiro com o terceiro e o segundo com o terceiro. Opa, os vetores e não são ortogonais.
Para achar um vetor paralelo a uma reta, basta pegarmos 2 pontos quaisquer da reta e encontrarmos o vetor que liga os dois pontos. E temos o ponto .
Para normalizar um vetor, portanto, tomamos um vetor de um comprimento qualquer e, mantendo-o apontado à mesma direção, mudamos seu comprimento a 1, tornando-o o que se define como vetor unitário.
O representante escolhido, quase sempre é o vetor v cuja origem é (0, 0, 0) e extremidade é o terno ordenado (a, b, c) do espaço R 3, razão pela qual denotamos este vetor por: v = (a, b, c). Se a origem do vetor não é a origem (0, 0, 0) ∈ R 3, realizamos a diferença entre a extremidade e a origem do vetor.
Ângulo entre dois vetores O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma: u.v = |u| |v| cos (x) onde x é o ângulo formado entre u e v.
Dados u e v E (V, <, >), a distância é || (u – v) ||. Partindo destes conceitos, já se podem definir vetores ortogonais, bases ortogonais e ortonormais. Seja (V, <, >) espaço euclidiano, u, v E V são ortogonais se o produto interno entre eles for igual à zero.
Logo, pelo teorema acima, o conjunto é linearmente independente. Neste exemplo, são todos elementos de ; portanto, formam uma base para que é também ortogonal (voltaremos a falar sobre bases ortogonais em breve)
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