Para determinar a matriz inversa de uma matriz quadrada A de ordem n, basta descobrir uma matriz B tal que a multiplicação entre elas tenha como resultado uma matriz identidade de ordem n. Dizemos que B é a inversa de A e é representada por A-1.
A-1 = I (A matriz multiplicada por sua inversa resultará na matriz identidade In). Multiplica-se cada elemento da primeira linha da primeira matriz por cada coluna da segunda matriz. Por conseguinte, multiplica-se os elementos da segunda linha da primeira matriz pelas colunas da segunda.
Uma matriz só possuirá inversa se o seu determinante for diferente de zero. Caso o determinante det(B) seja igual a zero, a matriz não possui inversa.
Nesse mesmo sentido encontraremos o oposto de uma matriz. Dada uma matriz B = (bij) m x n, a sua matriz oposta será representada por –B. Isso significa que para encontrar o oposto de uma matriz basta tornar todos os elementos da matriz em seus opostos.
Para sabermos se uma matriz é inversível precisamos encontrar o seu determinante. Se o determinante de uma matriz for diferente de zero, então a matriz é inversível. Caso contrário ela não possui uma matriz inversa.
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Cada elemento em uma linha pode ser multiplicado por uma constante diferente de zero. Uma linha pode ser substituída pela soma dessa linha e um múltiplo de outra linha. . A matriz elementar para qualquer operação de linha é obtida executando a operação na matriz identidade.
Para matrizes 3 x 3, seguimos a regra de Sarrus: copiamos as duas primeiras colunas à direita da matriz original; multiplicamos os valores da diagonal principal e, também, das diagonais paralelas; somamos esses produtos. Fazemos o mesmo com os valores da diagonal secundária e suas paralelas.
Para resolver uma matriz 2x3, por exemplo, você pode usar operações elementares de linha para transformar a matriz em uma matriz triangular.
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Operações elementares incluem:trocar duas linhas.multiplicar uma linha por um número diferente de zero.multiplicar uma linha e, em seguida, adicionar a uma outra linha.
Uma matriz é chamada de inversível ou não singular se, e somente se, seu determinante é diferente de zero, por isso uma matriz só pode ser inversível se for uma matriz quadrada com determinante diferente de zero e é representada pelo número -1 sobrescrito ao nome da matriz.
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