Em matemática, uma matriz elementar é uma matriz que difere da matriz identidade por uma única operação elementar de linha. As matrizes elementares geram o grupo linear geral de matrizes invertíveis.
Uma matriz A=(aij)m×n é equivalente por linhas a uma matriz B=(bij)m×n, se B pode ser obtida de A aplicando-se uma sequência de operações elementares sobre as suas linhas. Toda matriz A=(aij)m×n é equivalente por linhas a uma única matriz escalonada reduzida R = (rij)m×n.
Definição: Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando eles possuem o mesmo conjunto solução. Esse novo sistema pode ser obtido aplicando-se uma série de operações sobre as equações do sistema, que não alterem sua solução. ...
As operações elementares sobre matrizes são as seguintes: i) a troca da ordem de duas linhas da matriz; ii) a multiplicação uma linha da matriz por uma constante diferente de zero; iii) a substituição uma linha da matriz por sua soma com outra linha multiplicada por uma constante diferente de zero.
Matrizes elementares Nesta secção, iremos apresentar um tipo de matrizes que terão um papel relevante em resultados vindouros: as matrizes elementares. Estas dividem-se em três tipos: Ou seja, as matrizes elementares de ordem são obtidas da matriz identidade fazendo: para , substituindo a entrada por ;
O determinante da matriz A pode ser calculado da seguinte forma: Exemplo: O determinante da matriz M é 7. Uma matriz quadrada de ordem 3 possui três linhas e três colunas. Uma matriz genérica é representada por: O determinante da matriz 3 x 3 pode ser calculado utilizando a Regra de Sarrus. Exercício resolvido: Calcule o determinante da matriz C.
Matrizes devem ser escritas com parênteses ou colchetes à esquerda e à direita, sendo as duas maneiras equivalentes. Uma matriz é indicada por uma letra maiúscula. Seus elementos são indicados usando a mesma letra, porém minúscula, com a linha e coluna usados como índice (nesta ordem).
Exemplo: A subtração entre elementos da matriz A e B produz uma matriz C. Neste caso, realizamos a soma da matriz A com a matriz oposta de B, pois . A multiplicação de duas matrizes, A e B, só é possível se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B, ou seja, .
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