Em matemática, um problema de valor inicial ou problema de condições iniciais ou problema de Cauchy é uma equação diferencial que é acompanhada do valor da função objetivo em um determinado ponto, chamado de valor inicial ou condição inicial.
Problema de Valor Inicial (PVI) É chamado de problema de valor inicia quando queremos resolver uma EDO de 1ª ordem, do tipo: Que está sujeita a uma condição inicial que chamaremos de , em que x0 é um número qualquer dentro de um intervalo I e y0 é um número real. Agora, um exemplo prático.
Método para solução de uma EDO 1º ordem linear não-homogênea - (Fator de integração):
Um novo momento do auxílio emergencial deve começar nesta semana....Qual o valor do auxílio emergencial 2021?
Exemplos: Seja L um operador diferencial linear com coeficientes constantes e uma EDO linear L(y)=d(x)....Método dos Coeficientes a Determinar.
| Equação | Forma da solução procurada |
|---|---|
| L(y)=7e3x | y(x)=a.e3x |
| L(y)=17cos(3x) | y(x)=a.cos(3x)+b.sen(3x) |
Uma solução de uma EDO é uma função y(x) cujas derivadas satisfazem a equação. Não está garantido que tal função exista, e caso exista, normalmente ela não é única. Ao que se refere aos coeficientes, uma equação diferencial pode ter coeficientes constantes ou funções da variável independente.
Definições Problemas de Valor Inicial (PVI) RESOLUÇÃONUMÉRICA DE EQUAÇÕESDIFERENCIAIS Definições Problemas de Valor Inicial (PVI) Métodos de passo simples Método de Euler Métodos de série de Taylor Métodos de Runge -Kutta Equações de ordem superior Métodos de passo múltiplo
Para chegar no resultado final, usamos a segunda informação do problema: o valor inicial: num ponto serve justamente para identificar o valor constante para a expressão encontrada que satisfaça as condições do problema. Legal? Vamos para os exercícios para fixar bem isso! . Para chegar lá, colocamos cada infinitesimal num lado da primeira equação:
Ou seja, temos: A expressão para derivada. O valor da função num ponto. E queremos a expressão da função. Vamos resolver o problema de valor inicial, ou PVI, para os íntimos, que vimos agora a pouco: , temos que fazer a operação inversa da derivação, ou seja, integrar! Primeiramente, vamos deixar cada infinitesimal num lado da equação:
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