Centro e raio: fundamental para a construção da circunferência, como o nome sugere, centro é um ponto que está a uma mesma distância da circunferência. Já o raio, denotado por r, é qualquer seguimento de reta que parte do centro e vai até a circunferência.
Para encontrar as coordenadas do centro de uma circunferência qualquer, a seguinte técnica pode ser utilizada: Escolher três pontos pertencentes à circunferência dada; Substituir as coordenadas de cada ponto em uma equação reduzida da circunferência, formando, assim, 3 equações; e.
Então: Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio. Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2.
Essa equação é obtida quando desenvolvemos as diferenças de quadrados encontradas na equação reduzida, sendo uma equação do tipo x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0, em que C(a, b) é o centro da circunferência e r é o raio.
Ao dividir o diâmetro ao meio, vamos obter o raio da circunferência, ou seja, o raio (r) de uma circunferência é o segmento que une o centro e a extremidade. Nesse caso, o raio é o segmento CB. Podemos estabelecer uma relação matemática entre esses dois elementos, uma vez que o diâmetro é o dobro do raio.
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Exemplo: x² + y² – 2x – 4y – 4 =0. Agora, sabemos que a = 1 e b = 2, para encontrar o valor de r, vamos analisar o termo independente. Sendo assim, o centro da circunferência é o ponto C (1,2) e o seu raio é 3.
2. Equação geral da circunferência. Ou de uma maneira generalizada: x2 + y2 + mx + ny + p = 0 → está é a equação geral da circunferência.
Posições relativas entre reta e circunferência
Sabemos que a equação da reta (equação do primeiro grau) é do formato ax+by+c=0 e a equação geral da circunferência é do formato x2+y2+dx+ey+f=0 x 2 + y 2 + d x + e y + f = 0 .
Em uma equação da circunferência escrita na sua forma reduzida, o valor do segundo membro da igualdade deverá ser um valor positivo: (x – a)2 + (y – b)2 = k; k > 0. Exemplo: verifique se a equação x2 + 3y2 – 6x + 4y - 9 = 0 pode ser considerada uma equação da circunferência.
O ponto pertence à circunferência. Isso ocorre se a distância desse ponto até o centro for igual ao raio.
Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura anterior, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência.
Seja (x-xc)² + (y-yc)² = R² a equação reduzida da circunferência.
A equação da circunferência de centro C(a, b) e raio r, com r > 0, é (x – a)² + (y – b)² = r².
(Udesc) Para que a equação x² + y² - 4x + 8y + k = 0 represente uma circunferência, devemos ter: K < 20. K > 13.
Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x² + y² = r² .
A distância entre o centro de uma circunferência e um ponto genérico a ela é o mesmo que calcularmos a distância entre dois pontos, que no caso são C(a,b) e D(x,y). Exemplo: Determine a equação reduzida da circunferência de centro C(-4,1) e R = 1/3. Basta substituirmos esses dados na equação R2 = (x – a)2 + (y – b)2.
(Use π = 3,1.) Se o diâmetro é igual a 12 cm, então o raio é a metade de 12 cm, ou seja, r = 6 cm. O raio da circunferência é igual à metade do seu diâmetro, ou seja, d = 120 : 2 = 60 m.
Em qualquer região circular basta dividirmos o comprimento da mesma, pela medida do diâmetro, que encontraremos o valor correspondente a 3,14 aproximadamente. Com base nessa descoberta, o comprimento de uma região limitada por uma circunferência é calculada através da expressão matemática C = 2 * π * r.
Para encontrar a circunferência que você precisa, basta colocar o raio na equação: C = 2πr. C = 2π x 5.
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