Existe e existem estão corretas e devem ser utilizadas de acordo com o sujeito da frase. As formas existe e existem estão corretas. Correspondem ao verbo existir na 3ª pessoa do singular e na 3ª pessoa do plural, respectivamente. O verbo existir aceita flexão em número (singular ou plural) e em pessoa (1.
As duas formas estão corretas.
O verbo existir aceita flexão em número (singular ou plural) e em pessoa (1. ª, 2. ª ou 3. ª pessoa), concordando com o sujeito gramatical.
Existam vem do verbo existir. O mesmo que: subsistam, vivam, estejam, permaneçam.
Só um detalhe: o verbo "existir" é pessoal, e não impessoal. Quer dizer que fica no singular ou no plural, dependendo do sujeito: existe político desonesto, existem políticos desonestos, pode existir político desonesto, podem existir políticos desonestos.
Se o verbo “haver” tiver empregado no passado, com o sentido de “existir” ou “acontecer”, ele passa a ser impessoal e, por isso, pode ser usado somente no singular e sem o sujeito. Nesse caso, a flexão verbal “houveram” não existe.
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Quando o verbo “haver” aparece acompanhado de um verbo auxiliar, este assume o comportamento impessoal, permanecendo no singular. É por isso que dizemos “Deve haver indícios de fraude”, “Pode ter havido casos semelhantes”, “Vai haver reações”, “Tinha havido exposições”, “Há de haver pessoas honestas” etc.
Quando utilizado com sentido de existir ou quando indica tempo decorrido, o verbo haver é um verbo impessoal, sem sujeito, sendo conjugado apenas na 3. ª pessoa do singular.
E agora? O verbo haver, quando seu sentido é de existir, é um verbo impessoal. Isso quer dizer que seu uso será sempre no singular, independentemente se o que vem a seguir está no plural.
A forma correta é [a ser]. A razão é que, quando temos dois ou mais verbos se referindo a um mesmo sujeito (locução verbal), só o primeiro deles deve flexionar-se para concordar com o sujeito, ou seja, só ele é conjugado. É por isso que se diz “Eles precisam ser mais humildes” e não “Eles precisam serem mais humildes”.
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