(1) Um campo vetorial uniforme tem tanto o divergente quanto o rotacional iguais a zero, pois as derivadas parciais de todas as componentes são nulas.
Um campo vetorial cujo rotacional é zero é chamado de irrotacional. Os campos vetoriais conservativos, como aqueles dados pela Lei da Gravitação Universal e pela Lei de Coulomb, são campos irrotacionais; em outras palavras, nada girará sob a ação exclusiva destes campos.
Outro caso que pode ocorrer é o divergente ser zero. Neste caso dizemos que o sistema está em regime estacionário; ou seja, a energia não varia com o tempo. Não há ,portanto, acúmulo nem sumidouro de energia.
Se a matriz Jacobiana de um campo vetorial F diferenciável em S ⊆ R3 é simétrica, então o rotacional é o vetor nulo em S, ou seja, rot (F) = 0. Se F é um campo vetorial conservativo, então rot F = 0. Desse modo, se rot F 0, F não é um campo vetorial conservativo.
O gradiente é interpretado como a direção em que a máx- ima variação da função ocorre. Fisicamente, o divergente é interpretado como um fluxo pontual. Fisicamente, o Laplaciano é interpretado como a concavi- dade no comportamento da função . Fisicamente, o rotacional é interpretado como uma circu- lação no espaço.
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O divergente é div F = z + xz. Se f é uma função de três variáveis que tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então o rotacional do gradiente de f é o vetor nulo, ou seja, rot (∇f) = 0.
Resumo. O rotacional é um operador que, a partir de uma função que representa um campo vetorial tridimensional, gera uma nova função que representa um campo vetorial tridimensional diferente.
Como saber se F é um campo vetorial conservativo? O seguinte teorema, que pode ser visto como a recíproca do Corolário 7, fornece uma resposta para essa pergunta. F · dr = 0 para qualquer curva fechada C, então F é um campo vetorial conservativo, ou seja, existe f tal que F = ∇f.
Um campo vetorial cujo rotacional é nulo é definido como irrotacional. É ℝv − {(0,0)}.
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