Dizemos que T é um operador diagonalizável se existe uma base de E cujos elementos s˜ao autovetores de T. Diagonalizaç˜ao de um Operador Seja T : E -→ E um operador linear. Diagonalizar o operador T é encontrar - quando poss´ıvel - uma matriz associada `a T com relaç˜ao a uma base de E formada por autovetores de T..
Um operador linear T : V → V com n = dim(V) é diagonalizável se ele tem n autovalores distintos, ou seja, se o seu polinômio característico tem n raízes distintas em F.
Teorema: Sejam λ1, λ2, ..., λr os autovalores distintos de um operador linear T. Então T será diagonalizável se, e somente se o polinômio: (x - λ1)(x – λ2).... (x - λr)
Exemplo 1: Considere o operador linear T : R2 -→ R2, dado por T(x, y)=(x,2x + y). Assim, os autovetores associados a λ = 1 são da forma v = (0,y) = y(0,1). Uma base para o subespaço Sλ é 1(0,1)l, portanto dim(Sλ)=1, logo a multiplicidade geométrica de λ = 1 é igual a 1.
Se os conjuntos V e W são iguais, WV = , então T é denominada um Operador Linear.
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Denomina-se endomorfismo ou operador linear uma transformação linear de um espaço vetorial «nele mesmo», ou seja, uma transformação que tenha domínio igual ao contradomínio.
T : V → V é um operador ortogonal se, e somente se, a matriz [T] de T com relaç˜ao `a base B é uma matriz ortogonal. Seja T : R3 → R3 a transformaç˜ao linear dada por T(x, y, z)=(x + y + z, x − y + z,2x + 2y − 3z). (1,1,−2).
Vamos mostrar que esta aplicação satisfaz as duas propriedades para ser transformação linear: (a) Considere v1,v2 ∈ V , temos que: T(v1 + v2) = v1 + v2 = T(v1) + T(v2) pela forma como esta definida a aplicação. (b) Considere v ∈ V e α ∈ R, temos: T(αv) = αv = αT(v) pela forma como esta definida a aplicação.
operador linear sobre V . Então, T é diagonalizável se, e somente se: (i) o polinômio característico de T possui todas as suas raízes em K; (ii) a multiplicidade algébrica de cada autovalor de T é igual a sua multiplicidade geométrica.
O polinômio mínimo ou polinômio minimal de α é o polinômio mônico de menor grau que satisfaz p(α) = 0.Em álgebra linear, temos o polinômio mínimo de um operador linear ou de uma matriz quadrada.Na teoria dos corpos, temos o polinômio mínimo de um elemento α algébrico sobre um corpo K.
Se T é inversível, T transforma base em base, isto é, se B é uma base de V, T(B) também é uma base de V. )-1. = I. Assim T é inversível se, e somente se, det T ≠ 0.
Sejam A e B matrizes semelhantes, então:;é invertível se e somente se também o for;e possuem o mesmo polinômio característico;e tem os mesmos valores próprios com a mesma multiplicidade;e têm o mesmo traço;e são semelhantes para todo .As matrizes de um operador linear de dimensão finita são semelhantes.
n ≥ 2é chamada de matriz diagonal se, somente se, i ≠ j for igual a zero. Observação: Isso não impede de os elementos que pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Ou seja, uma matriz onde todos os seus elementos são iguais a zero é uma matriz diagonal.
Para se encontrar os autovetores basta substituir o valor do autovalor na equação original e encontrar o autovetor. O autovalor será, então, associado ao autovetor encontrado. Na verdade, o autovetor encontrado forma uma base para o espaço de solução da equação (III), dado o respectivo autovalor.
Qualquer que seja a, o resultado vai ser o mesmo. Então, não existem valores de a que a tornem diagonalizável.
Para afirmar se uma matriz é inversível, ou seja, se é possível calcular a sua inversa, é necessário primeiro identificar o seu determinante. Caso este determinante seja diferente de zero, a matriz é inversível. Em situações em que o determinante é nulo, a matriz não pode ser considerada inversível.
A matriz identidade é diagonal e quadrada e, por isso, é considerada também uma matriz especial. Todos os elementos que compõem a sua diagonal principal são iguais ao número um e todos os elementos que compõem a diagonal secundária são iguais a zero.
Exemplo 1: Considere a transformação linear: T : R3 −→ R dada por T(x, y, z) = x+y−z. Vamos determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de T. Um elemento (x, y, z) de R3 pertence ao núcleo de T se T(x, y, z) = x+y −z = 0 ⇒ x = −y +z.
Projeções ortogonais são figuras formadas em um plano a partir de outras figuras fora dele e já foram tema de questões do Enem. A projeção ortogonal das figuras geométricas sobre um plano pode ser comparada à sombra desse mesmo objeto no horário em que o sol está mais alto no dia.
Uma matriz quadrada é ortogonal se A′A=AA′=I, onde A′ é a matriz transposta de A.
O produto interno entre dois vetores é um número real ligado ao tamanho de cada um desses vetores e ao ângulo formado por eles. A norma de um vetor é um número real ligado ao seu comprimento.
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