Espaço euclidiano é um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno. Por volta de 300 a.C., o matemático grego Euclides estabeleceu as leis do que veio a ser chamado “Geometria euclidiana”, que é o estudo das relações entre ângulos e distâncias no espaço.
No Espaço euclidiano, um plano é uma superfície tal que, dada a quaisquer pontos na superfície, a superfície também contém a única linha reta que passa pelos pontos. A estrutura fundamental de dois planos sempre será a mesma. Na matemática isto pode ser determinado como “homomorfismo”.
Espaço normado: É qualquer espaço vetorial que possui uma norma definida.
O produto interno obedece a algumas propriedades/axiomas:Simetria: ⟨ u , v ⟩ = ⟨ v , u ⟩ ;Homogeneidade: ⟨ λ u , v ⟩ = λ ⟨ u , v ⟩ ;Aditividade: ⟨ u + w , v ⟩ = ⟨ u , v ⟩ + ⟨ w , v ⟩Positividade: ⟨ u , u ⟩ > 0 , para todo u ≠ 0.⟨ u , u ⟩ = 0 ⟺ u = 0.
Em matemática, uma norma consiste em uma função que a cada vetor de um espaço vetorial associa um número real não-negativo. O conceito de norma está intuitivamente relacionado à noção geométrica de comprimento.
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A norma ou módulo de um vetor é o comprimento desse vetor, que pode ser calculado por meio da distância de seu ponto final até a origem. O módulo de um número real “a” é um número real que indica o tamanho do segmento de reta das extremidades “0” e “a” ou a distância do ponto “a” até o ponto “0” na reta numérica.
Em matemática, uma norma matricial é uma norma definida para matrizes.
Portanto, para calcular produto interno, é necessário saber antes calcular a norma. *α é o ângulo entre os vetores w e v. Portanto, cosα é dado pelo produto interno entre os vetores w e v dividido pelo produto entre as normas dos vetores w e v. Esse cálculo é utilizado para encontrar o ângulo entre dois vetores.
Em matemática, chamamos de produto interno uma função de dois vetores que satisfaz determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na geometria euclidiana, é um caso especial de produto interno.
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