O Teorema de Laplace é um método para calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem n. Normalmente, é utilizado quando as matrizes são de ordem igual ou superior a 4. Esse método foi desenvolvido pelo matemático e físico Pierre-Simon Laplace (1749-1827).
Para encontrar o valor do determinante da matriz produto, det(A · B), aplicaremos o teorema de Binet, que diz que det(A · B) = det(A) · det(B).
O determinante de uma matriz quadrada M é a associação de um número real único, chamado de determinante de M e podemos abreviar por det (M), que pode ser utilizado na resolução de sistemas lineares.
Existem várias técnicas utilizadas para calcular o determinante de uma matriz, entre elas estão: Regra de Sarrus, Teorema de Laplace, Teorema de Jacobi, Teorema de Binet e a Regra de Chió. Mas todas essas técnicas podem ser facilitadas se aplicarmos as propriedades dos determinantes.
Al tener 2 ceros, hemos calculado un determinante 3x3 con un solo determinante 2x2. El determinante se calcula igual independientemente del tipo de entradas que contiene, pero tenemos que calcular productos de números complejos.
Para calcular el determinante elegimos una columna cualquiera, por ejemplo la columna j-ésima, y aplicamos la siguiente fórmula: Donde α kj representa el determinante resultante de eliminar la fila k-ésima y la columna j-ésima de la matriz. Ejemplo: Veamos cómo calcular este determinante de 4×4 desarrollándolo por la primera fila.
Para hacer un determinante 2×2 tenemos que multiplicar los elementos de la diagonal principal y restarle el producto de la diagonal secundaria: Resuelve el siguiente determinante de dimensión 2×2:
Veamos primero en qué consiste un determinante. Un determinante es una aplicación que a cada matriz cuadrada le asigna un valor numérico. Denotaremos su determinante de cualquiera de las 3 siguientes formas:
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